古いパソコンと新しパソコンをネットワーク(LAN)につないで、直接データをコピーする方法もありますが、外付けHDDなどにいったんコピーして引っ越すほうがお勧めです。
この時に「移動」ではなく「コピー」することで、外付けHDDにデータが残り、バックアップの代わりとなります。

WindowsXPのパソコンの場合は「Documents and Settings」フォルダ、WindowsVista以降のパソコンの場合は「Users」フォルダに主要なデータが入っています。
Mac OSXの場合は、「Users」(ユーザ)フォルダに主要なデータが入っています。
このフォルダごとコピーするのが一番簡単です。

データコピーの具体的な手順は下記ページをご確認ください。

もっとも簡単なバックアップ方法はフォルダごとデータをコピーすることです。外付けHDDやUSBメモリをパソコンに接続し、バックアップしたいフォルダをコピーすれば、それだけでバックアップできますので、万が一のデータ復旧対策にもなります。

同様に、バックアップデータを新しいパソコンに入れたいときは、同じ名前のフォルダ内にコピーする事で、データを戻すことが可能です。
※フォルダ名やファイル名が同じものがある場合、上書きされる場合がありますので、ご注意ください。

コピーしたいフォルダを右クリックすると以下のようなメニューが表示されます。

コピー先のフォルダで右クリックして、「貼り付け」を選ぶとコピーが始まります。

Mac OSXの場合も同様に右クリック(1ボタンマウスの場合はControlを押しながらクリック)で同様の画面を出すことができます。手順は同じです。
Windowsでは「貼り付け」となっていますが、MacOSXでは「ペースト」と呼ばれます。

もう一つの方法は、ドラッグアンドドロップです。これはWindowsでもMacOSXでも操作方法は同じです。

コピー元とコピー先のフォルダを両方開き、マウスの左ボタンを押したままコピーしたいデータをドラッグして、コピー先で左ボタンを外すとコピーが始まります。

ただし、こちらの方法はコピー元とコピー先が同じドライブだとコピーではなく「移動」になってしまいます。誤操作によりデータが消えてしまいますとデータ復旧が必要になる場合がありますので、安全のため「右クリックによるコピー＆貼り付け（ペースト）」を利用されることをお勧めいたします。